الرياضيات – الرياضيات في القرنين السابع عشر والثامن عشر …

الخلفية المؤسسية

حتى منتصف القرن السابع عشر ، عمل علماء الرياضيات بمفردهم أو في مجموعات صغيرة ، نشر أعمالهم في الكتب أو التواصل مع الباحثين الآخرين عن طريق الرسالة. في وقت كان فيه الناس بطيئين في النشر ، غالباً ما لعبت “الكليات غير المرئية” ، وهي شبكات من العلماء تناظرت بشكل خاص ، دوراً هاماً في تنسيق وتحفيز البحوث الرياضية. عملت مارين ميرسين في باريس كمركز لتبادل نتائج جديدة ، لإعلام العديد من المراسلين بما في ذلك بيير دي فيرمات ، ديكارت ، بليز باسكال ، جيلس بيرسونال دي روبرفال ، وغاليليو ، من مشاكل التحدي والحلول الجديدة. في وقت لاحق من هذا القرن جون كولينز ، أمين مكتبة لندن أدت الجمعية الملكية ، وظيفة مماثلة بين الرياضيين البريطانيين.

في عام 1660 تأسست الجمعية الملكية في لندن ، والتي ستتبعها في عام 1666 من قبل الأكاديمية الفرنسية للعلوم ، في 1700 من قبل أكاديمية برلين ، وفي 1724 من قبل أكاديمية سانت بطرسبرغ. المنشورات الرسمية التي ترعاها الأكاديميات ، وكذلك المجلات المستقلة مثل Acta Eruditorum (تأسست في 1682) ، جعلت من الممكن الاتصال المفتوح والمفتوح لنتائج البحث. على الرغم من أن الجامعات في القرن السابع عشر قدمت بعض الدعم للرياضيات ، إلا أنها أصبحت غير فعالة على نحو متزايد حيث تولت الأكاديميات المدعومة من الدولة توجيه البحث المتقدم.

العمليات الحسابية

كان تطوير أساليب جديدة للحساب العددي استجابة للمتطلبات العملية المتزايدة للحساب الرقمي ، خاصة في علم المثلثات والملاحة وعلم الفلك. انتشرت الأفكار الجديدة بسرعة في جميع أنحاء أوروبا وأسفرت عن عام 1630 في ثورة كبيرة في الممارسة العددية.

سيمون ستيفن من هولندا ، في كتيبه القصير لا ديسم (1585) ، قدم الكسور العشرية لأوروبا وأظهرت كيفية توسيع مبادئ الحساب الهندوسي-العربي لحساب هذه الأرقام. شدد ستيفن على فائدة الحساب العشري “لجميع الحسابات التي تتم مواجهتها في شؤون الرجال” ، وشرح في الملحق كيف يمكن تطبيقه على المسح ، والقياس الذهني ، والفلك ، والتركيز. كانت فكرته تتمثل في توسيع المبدأ الأساسي للقاعدة – 10 إلى أرقام ذات أجزاء كسرية ، مع امتداد مماثل للتدوين لتغطية هذه الحالات. في نظامه كان يشير إلى رقم 237.578

حيث تمثل الأرقام إلى يسار الصفر جزءًا لا يتجزأ من الرقم. إلى يمين الصفر توجد أرقام الجزء الكسري ، مع كل رقم ينجح برقم محاطة بدلالة تشير إلى القدرة السلبية التي يتم رفع 10 منها. أظهر ستيفن كيف يمكن أن يمتد الحساب المعتاد للأعداد الصحيحة إلى كسور عشرية ، باستخدام القواعد التي تحدد وضع القوى السلبية من 10.

بالإضافة إلى فائدته العملية ، لا ديسم كان كبيرا لطريقة تقويض النمط السائد للهندسة اليونانية الكلاسيكية في الرياضيات النظرية. اقتضى اقتراح ستيفن رفض التمييز في الهندسة الإقليدية بين الحجم ، المستمر ، والعدد ، وهو عدد كبير من الوحدات غير القابلة للتجزئة. بالنسبة لأقليدس ، الوحدة ، أو واحد ، كان نوعًا خاصًا ، وليس رقمًا ، بل أصلًا ، أو مبدأ ، الرقم. يبدو أن إدخال الكسور العشرية يعني ضمناً أن الوحدة يمكن تقسيمها إلى أجزاء وأن التعداد التعسفي المستمر يمكن تمثيله عددياً ؛ يفترض ضمنيًا مفهوم العدد الحقيقي الإيجابي العام.

جداول اللوغاريتم نشرت لأول مرة في عام 1614 من قبل ليرد الاسكتلندي جون نابير في أطروحته وصف الشريعة الرائعة للوغاريتمات. أعقب هذا العمل (بعد وفاته) بعد خمس سنوات من قبل آخر وضع فيه نابير المبادئ المستخدمة في بناء طاولاته. الفكرة الأساسية وراء اللوغاريتمات هي أن الجمع والطرح أسهل في الأداء من الضرب و التقسيم ، الذي ، كما لاحظ نابير ، يتطلب “إنفاق وقت مضجر” ويخضع “لأخطاء زلقة” بموجب قانون الأسس ، ا^نا^م = ا^{ن + م}. أي ، في مضاعفة الأرقام ، فإن الأسس مرتبطة بشكل إضافي. من خلال ربط التسلسل الهندسي للأرقام ا، ا²، ا³… (ا يسمى القاعدة) و تسلسل حسابي 1 ، 2 ، 3 ، … واستقراء لقيم كسرية ، فمن الممكن للحد من مشكلة الضرب والقسمة إلى واحدة من الجمع والطرح. للقيام بذلك اختار Napier قاعدة قريبة جدا من 1 ، تختلف عن ذلك من قبل 1/10 فقط⁷. وبالتالي أسفر التسلسل الهندسي الناتج عن مجموعة من القيم الكثيرة ، مناسبة لبناء جدول.

في عمله من 1619 قدم Napier مثيرة للاهتمام النموذج الحركي لتوليد التسلسلات الهندسية والحسابية المستخدمة في بناء طاولاته. افترض جزيئين تتحرك على طول خطوط منفصلة من النقاط الأولية المحددة. تبدأ الجسيمات في التحرك في نفس اللحظة بنفس السرعة. يستمر الجسيم الأول بالتحرك بسرعة تتناقص ، تتناسب في كل لحظة مع المسافة المتبقية بينها وبين نقطة ثابتة معينة على الخط. يتحرك الجسيم الثاني بسرعة ثابتة تساوي سرعته الأولية. بالنظر إلى أي زيادة في الوقت ، تشكل المسافات التي يسافرها الجسيم الأول في زيادات متعاقبة تسلسلاً متناقصًا هندسيًا. المسافات المقابلة التي تنقلها الجسيمات الثانية تشكل تتابعًا متزايدًا حسابيًا. تمكن Napier من استخدام هذا النموذج لاستخلاص نظريات تعطي حدودًا دقيقة للقيم التقريبية في التتابعين.

أشار النموذج الحركي لـ Napier إلى كيف أن علماء الرياضيات المهرة قد أصبحوا في أوائل القرن السابع عشر في تحليل الحركة غير المنتظمة. قدمت الأفكار الحركية ، والتي ظهرت بشكل متكرر في الرياضيات للفترة ، وسيلة واضحة ومرئية لتوليد حجم هندسي. لعبت فكرة منحنى تتبعه جسيم يتحرك في الفضاء في وقت لاحق دورا هاما في تطوير حساب التفاضل والتكامل.

تم تناول أفكار Napier ومراجعتها بواسطة عالم الرياضيات الإنجليزي هنري بريجز ، أول أستاذ سافيلي للهندسة في جامعة أكسفورد. في 1624 بريغز نشرت جدولا شاملا لل لوغاريتمات مشتركة ، أو لوغاريتمات للقاعدة 10. نظرًا لأن القاعدة لم تعد قريبة من 1 ، لم يكن بالإمكان الحصول على الجدول ببساطة مثل Napier ، ولذلك ابتكر Briggs تقنيات تتضمن حساب فروق متناهية لتسهيل حساب الإدخالات. كما ابتكر إجراءات الاستيفاء لكفاءة حسابية كبيرة للحصول على قيم وسيطة.

في سويسرا صانع الصك وصل جوست بورجي إلى فكرة اللوغاريتمات بشكل مستقل عن نابير ، على الرغم من أنه لم ينشر نتائجه حتى عام 1620. وبعد أربع سنوات ، تم إعداد جدول لوغاريتمات أعده ظهرت كبلر في ماربورغ. كان كل من بورغي وكيبلر مراقبين فلكيين ، وأدرج كبلر طاولات لوغاريتمي في كتابه الشهير تابولاي رودولفينا (1627 ؛ “جداول Rudolphine”) ، والجداول الفلكية لحركة الكواكب المشتقة باستخدام افتراض المدارات الإهليلجية حول الشمس.

الهندسة التحليلية

كان اختراع الهندسة التحليلية ، بجانب حساب التفاضل والتكامل المتكامل ، أهم تطور رياضي في القرن السابع عشر. نشأ في أعمال علماء الرياضيات الفرنسيين فييت وفيرمات وديكارت ، وكان قد وضع نفسه بحلول منتصف القرن كبرنامج رئيسي للبحث الرياضي.

حفز اتجاهان في الرياضيات المعاصرة صعود الهندسة التحليلية. الأول هو زيادة الاهتمام بها المنحنيات ، التي نتجت جزئياً عن الانتعاش والترجمة اللاتينية للأطروحات الكلاسيكية لأبولونيوس ، أرخميدس ، وبابوس ، وجزء من الأهمية المتزايدة للمنحنيات في مجالات تطبيقية مثل علم الفلك ، والميكانيكا ، والبصريات ، وقياس الأحجام. والثاني هو ظهور في وقت سابق من قرن من ممارسة جبري المعمول بها في أعمال الجبر الإيطالي والألماني وتشكيله لاحقا من قبل فييت إلى أداة رياضية قوية في نهاية القرن.

كان فييت ممثلاً بارزًا للحركة الإنسانية في الرياضيات التي وضعت نفسها مشروعًا لاستعادة وتعزيز إنجازات المقاييس اليونانية الكلاسيكية. في في artem analyticem isagoge (1591 ؛ “مقدمة إلى الفنون التحليلية”) ، فييت ، كجزء من برنامجه لإعادة اكتشاف طريقة التحليل المستخدمة من قبل علماء الرياضيات اليونانيين القدماء ، وطرق جبرية جديدة مقترحة تستخدم المتغيرات والثوابت والمعادلات ، لكنه رأى ذلك على أنه تقدم على الطريقة القديمة ، وجهة نظر وصلت من خلال مقارنة التحليل الهندسي الواردة في الكتاب السابع من Pappus ل مجموعة مع التحليل الحسابي لـ Diophantus Arithmetica. وقد استخدم Pappus طريقة تحليلية لاكتشاف النظريات وبناء المشاكل ؛ في التحليل ، على النقيض من التوليف ، يبدأ المرء من ما هو مطلوب حتى يصل المرء إلى شيء معروف. عند الاقتراب من مشكلة حسابية عن طريق وضع معادلة بين مقادير معروفة وغير معروفة ، ثم حل المجهول ، كان المرء على نفس المنوال ، بعد إجراء “تحليلي”.

قدم Viète مفهوم جبري متغير ، والذي يرمز إليه باستخدام حرف متحرك رأس المال (ا، E، أنا، O، U) ، فضلا عن مفهوم المعلمة (كمية ثابتة غير محددة) ، يُرمز إليها بحرف ساكنب، C، د، وما إلى ذلك وهلم جرا). في نظامه المعادلة 5با² – 2Cا + ا³ = د سوف تظهر ب5 بوصة ا رباعية – C plano 2 in ا + ا شبل ايكاتور د SOLIDO.

احتفظ Viète الكلاسيكية مبدأ التجانس ، وفقا للشروط التي أضيفت معا يجب أن تكون كلها من نفس البعد. في المعادلة أعلاه ، على سبيل المثال ، يحتوي كل مصطلح على البعد الخاص بـ solid أو cube؛ هكذا الثابت C، التي تدل على الطائرة ، يتم دمجها مع ا لتشكيل كمية لها بعد صلبة.

وتجدر الإشارة إلى أنه في مخطط فييت الرمز ا هو جزء من التعبير عن الكائن الذي تم الحصول عليه من خلال العمل على الحجم الذي تشير إليه ا. وهكذا ، تنعكس العمليات على الكميات التي تشير إليها المتغيرات في الترميز الجبري نفسه. هذا الابتكار ، الذي يعتبره مؤرخو الرياضيات ليكون تقدمًا مفاهيميًا كبيرًا في الجبر ، سهّل دراسة الحل الرمزي للمعادلات الجبرية وأدى إلى خلق أول نظرية واعية للمعادلات.

بعد وفاة فييت ، تم تطبيق الفن التحليلي على دراسة المنحنيات من قبل مواطنيه فيرما وديكارت. كان الدافع وراء كلا الرجلين من نفس الهدف ، لتطبيق التقنيات الجبرية الجديدة لنظرية Apollonius من الموقع كما حفظت في Pappus ل مجموعة. أكثر هذه المشاكل تشتهرًا تتمثل في العثور على المنحنى أو الموضع الذي تم تتبعه من خلال نقطة تقربت مسافاتها من عدة خطوط ثابتة عن علاقة معينة.

تبنت فيرمات تدوين فيتي في ورقته “Ad Locos Planos et Solidos Isagoge ”(1636 ؛“ Introduction to Plane and Solid Loci ”). يشير عنوان الورقة إلى التصنيف القديم للمنحنيات على شكل مستوي (خطوط مستقيمة ، دوائر) ، صلب (الحذف ، القطوع المكافئة ، والفرعية) ، أو خطي (يحدد المنحنيات بطريقة حركية أو بحالة موضع). تعتبر Fermat معادلة بين متغيرين. ويمثل أحد المتغيرات خطًا محسوبًا أفقيًا من نقطة أولية معينة ، بينما يمثل الآخر خطًا ثانيًا موصولًا في نهاية السطر الأول ويميل بزاوية ثابتة إلى أفقية. وبما أن المتغير الأول متفاوت في الحجم ، فإن الثاني يأخذ قيمة تحددها المعادلة ، ونقطة النهاية للخط الثاني تتبع منحنى في الفضاء. بواسطة هذا البناء ، تمكن فيرمات من صياغة المبدأ الأساسي للهندسة التحليلية:

عند العثور على كميتين غير معروفتين في المساواة النهائية ، ينتج عن ذلك موضع ثابت في مكانه ، ونقطة النهاية لأحد هذه الكميات غير المعروفة تصف خطًا مستقيماً أو منحنى.

ينطوي المبدأ على وجود تناظر بين فئتين مختلفتين للأجسام الرياضية: المنحنيات الهندسية والمعادلات الجبرية. في ورقة 1636 أظهرت Fermat أنه إذا كانت المعادلة تربيعية ، فإن المنحنى هو a القسم المخروطي ، أي القطع الناقص أو القطع المكافئ أو القطع الزائد. كما أظهر أن تحديد المنحنى الذي تعطيه المعادلة يتم تبسيطه بواسطة تحويل يتضمن تغيير المتغيرات إلى معادلة في الشكل القياسي.

وديكارت La Géométrie ظهر في 1637 كتذييل لشهرته خطاب حول الطريقة، الاطروحة التي قدمت أساس نظامه الفلسفي. على الرغم من المفترض على سبيل المثال من الرياضيات من أسلوبه العقلاني ، La Géométrie كان أطروحة فنية مفهومة بشكل مستقل عن الفلسفة. كان من المقدر أن تصبح واحدة من أكثر الكتب تأثيرا في تاريخ الرياضيات.

في الاقسام الافتتاحية لل La Géométrie، قدم ديكارت اثنين من الابتكارات. وبدلاً من تدوين فييت ، بدأ الممارسة الحديثة المتمثلة في الإشارة إلى المتغيرات بالحروف في نهاية الأبجدية (س، ذ، ض) والمعلمات بالحروف في بداية الأبجدية (ا، ب، ج) واستخدام التدوين الأسي للإشارة إلى صلاحيات س (س²، س³، …). والأكثر أهمية من الناحية المفاهيمية هو أنه وضع جانبا مبدأ التجانس في فييت ، مبينًا ببناء بسيط كيفية تمثيل الضرب وتقسيم الخطوط حسب الخطوط ؛ هكذا ، كل شيء يمكن تمثيل القيم (الخطوط والمساحات والأحجام) بشكل مستقل عن أبعادها بنفس الطريقة.

هدف ديكارت في La Géométrie كان لتحقيق بناء حلول للمشاكل الهندسية عن طريق الأدوات التي كانت تعميمات مقبولة للحاكم والبوصلة. الجبر كان أداة تستخدم في هذا البرنامج:

إذا أردنا ، إذاً ، حل أية مشكلة ، فنحن نفترض أولاً أن الحل قد تم تنفيذه بالفعل ، وأن نعطي الأسماء لجميع الخطوط التي تبدو ضرورية للبناء – لأولئك المجهولين وكذلك لأولئك المعروفين. بعد ذلك ، دون التمييز بأي شكل من الأشكال بين الخطوط المعروفة والمجهولة ، يجب علينا كشف الصعوبة بأي طريقة تظهر بشكل طبيعي العلاقات بين هذه الخطوط ، حتى نجد أنه من الممكن التعبير عن كمية واحدة بطريقتين. سيشكل ذلك معادلة ، لأن مصطلحات واحدة من هذين التعبيرين متساوية مع شروط الآخر.

في مشكلة Apollonius ، على سبيل المثال ، سعى أحد للعثور على موضع النقاط التي ارتقت مسافاتها من مجموعة من الخطوط الثابتة علاقة معينة. استخدم أحد هذه العلاقة لاشتقاق معادلة ، ثم باستخدام إجراء هندسي يشتمل على أدوات بناء مقبولة ، تم الحصول على نقطة واحدة على المنحنى الذي تعطيه جذور المعادلة.

وصف ديكارت الأدوات أكثر عمومية من البوصلة لرسم منحنيات “هندسية”. وقد نص على أن تكون أجزاء الأداة مرتبطة ببعضها البعض بحيث يمكن معرفة نسبة حركات الأجزاء. استبعد هذا القيد منحنيات “ميكانيكية” ناتجة عن العمليات الحركية. الارخميدي دوامة ، على سبيل المثال ، تم إنشاؤها بواسطة نقطة تتحرك على خط كما تناوب الخط بشكل موحد حول الأصل. ال نسبة المحيط إلى القطر لا تسمح بالتحديد الدقيق:

النسب بين الخطوط المستقيمة والمنحنية غير معروفة ، وأعتقد حتى لا يمكن اكتشافها من قبل الرجال ، وبالتالي لا يمكن قبول أي نتيجة تستند إلى مثل هذه النسب على أنها صارمة ودقيقة.

استنتج ديكارت أن المنحنى الهندسي أو غير الميكانيكي كان أحد معادلاته F(س، ذ) = 0 كان متعدد الحدود من الدرجة المحدودة في متغيرين. كان يرغب في تقييد الرياضيات للنظر في مثل هذه المنحنيات.

يعكس تركيز ديكارت على البناء اتجاهه الكلاسيكي. لقد ميزته المحافظة فيما يتعلق بمنحنيات مقبولة في الرياضيات أكثر من كونه مفكراً تقليدياً. في وقت وفاته ، في 1650 ، تجاوزته الأحداث ، حيث ابتعدت الأبحاث عن مسائل البناء إلى مشاكل في العثور على مناطق (التي كانت تسمى آنذاك مشاكل التربيع) والظواهر. كانت الأجسام الهندسية التي كانت محل اهتمام متزايد هي بالضبط المنحنيات الميكانيكية التي أراد ديكارت إبعادها عن الرياضيات.

بعد النتائج الهامة التي تم التوصل إليها في القرن السادس عشر من قبل جيرولامو كاردانو والجبر الإيطالي ، نظرية وصلت المعادلات الجبرية إلى طريق مسدود. كانت الأفكار اللازمة للتحقيق في معادلات درجة أعلى من أربعة بطيئة في التطور. كان التأثير التاريخي المباشر لـ Viète و Fermat و Descartes هو تقديم الطرق الجبرية للتحقيق في المنحنيات. تأسست مدرسة قوية للبحث في ليدن حولها فرانس فان شوتن ، عالم الرياضيات الهولندي الذي قام بنشر ونشر الترجمة اللاتينية عام 1649 La Géométrie. نشر فان شوتن ترجمة ثانية من المجلدين لنفس العمل في 1659-1661 التي احتوت أيضا على ملحقات رياضية لثلاثة من تلاميذه ، يوهان دي ويت ، يوهان هود ، وهندريك فان هيوريت. كانت مجموعة لايدن من علماء الرياضيات ، والتي شملت أيضًا Christiaan Huygens ، مسؤولة بشكل كبير عن التطور السريع للهندسة الديكارتية في منتصف القرن.

حساب التفاضل والتكامل

وصف المؤرخ كارل بوير حساب التفاضل والتكامل بأنه “الأداة الأكثر فاعلية للتحقيق العلمي الذي أنتجته الرياضيات على الإطلاق”. وباعتباره رياضيات التغير والتغيير ، كان حساب التفاضل والتكامل هو السمة المميزة للثورة العلمية. كان الموضوع صحيح اختراع اثنين من علماء الرياضيات ، و Gottfried Wilhelm Leibniz الألمانية والإنجليزي إسحاق نيوتن. نشر كلا الرجلين أبحاثهما في عام 1680 ، لايبنيز في عام 1684 في المجلة التي تم تأسيسها مؤخرًا Acta Eruditorum ونيوتن في 1687 في أطروحته العظيمة ، و المبادىء. على الرغم من وجود نزاع مرير حول الأولوية تطورت فيما بعد بين أتباع الرجلين ، فمن الواضح الآن أن كل منهما وصل إلى حساب التفاضل والتكامل بشكل مستقل.

حساب التفاضل والتكامل وضعت من تقنيات لحل نوعين من المشاكل ، وتحديد المناطق و وحدات التخزين وحساب الظل إلى المنحنيات. في الهندسة الكلاسيكية أرخميدس تقدمت أبعد في هذا الجزء من الرياضيات ، بعد أن استخدمت طريقة استنفاد لإنشاء نتائج مختلفة بدقة على مناطق وأحجام واشتقاق لبعض المنحنيات (على سبيل المثال ، الحلزوني) نتائج هامة بشأن الظماس. في أوائل القرن السابع عشر كان هناك إحياء حاد في الاهتمام بفئتي المشاكل. كانت العقود بين 1610 و 1670 ، المشار إليها في تاريخ الرياضيات على أنها “فترة التحلل الاقتصادي” ، فترة من النشاط الملحوظ حيث ساهم الباحثون في جميع أنحاء أوروبا بحلول جديدة وتنافسوا مع بعضهم البعض للتوصل إلى طرق جديدة مهمة.

فترة ما قبل الحساب (precalculus)

قام بونافينتورا كافالييري ، أستاذ الرياضيات في جامعة بولونيا ، بصياغة طريقة منهجية لتحديد المناطق والحجوم. وكما فعل أرخميدس ، كان كافاليري ينظر إلى شخصية الطائرة على أنها تتكون من مجموعة من الخطوط غير القابلة للتجزئة ، “جميع الخطوط” الخاصة برقم الطائرة. تم إنشاء المجموعة بواسطة خط ثابت يتحرك في الفضاء بالتوازي مع نفسه. أظهر كافالييري أن هذه المجموعات يمكن تفسيرها على أنها مقادير تلتزم بقواعد نظرية النسبة الإقليدية. في الاقتراح 4 من الكتاب الثاني ، استمد النتيجة التي كُتبت اليوم باسم

يجب أن يكون هناك متوازي الأضلاع الذي يتم رسم قطري فيه ؛ ثم “جميع المربعات” من متوازي الأضلاع سوف تكون ثلاثية “كل المربعات” لكل من المثلثات التي يحددها القطر.

أظهر كافالييري أن هذا الاقتراح يمكن تفسيره بطرق مختلفة – مثل التأكيد ، على سبيل المثال ، أن حجم المخروط هو ثلث حجم الأسطوانة المحددةنرى ال الشكل) أو أن المساحة تحت جزء من القطع المكافئ هي ثلث مساحة المستطيل المرتبط. في أطروحة في وقت لاحق قام بتعميم النتيجة من خلال إثبات

إلى عن على ن = 3 ل ن = 9. ولتحقيق هذه النتائج ، أدخل التحولات بين متغيرات المشكلة ، باستخدام نتيجة مكافئة لنظرية ذات الحدين من أجل الأسس المتكاملة. تجاوزت الأفكار المعنية أي شيء ظهر في نظرية أرخميدس الكلاسيكية للمحتوى.

على الرغم من أن كافاليري كان ناجحًا في صياغة طريقة منهجية تعتمد على المفاهيم العامة ، إلا أن أفكاره لم تكن سهلة التطبيق. اشتقاق نتائج بسيطة للغاية تتطلب اعتبارات هندسية معقدة ، والأسلوب المتورم لل Geometria Indivisibilibus كان حاجزا أمام الاستقبال.

قدم جون واليس نهجا مختلفا تماما لنظرية الكسور في كتابه Arithmetica Infinitorum (1655؛ الحساب من Infinitesimals). كان واليس ، خلفاً لهنري بريغز كأستاذ سافيلي للهندسة في أكسفورد ، بطلاً في الأساليب الجديدة الجبر الحسابي الذي تعلمه من معلمه وليام Oughtred. أعرب واليس عن المنطقة الواقعة تحت المنحنى كمجموع سلسلة لانهائية واستخدم الحثية الذكية وغير التقليدية لتحديد قيمتها. لحساب المنطقة تحت القطع المكافئ ،

اعتبر المبالغ المتتالية

واستنتج من “الحث” العلاقة العامة

من خلال جعل عدد المصطلحات لا نهائي ، حصل على 1/3 كقيمة محدودة للتعبير. مع منحنيات أكثر تعقيدا حقق نتائج باهرة جدا ، بما في ذلك التعبير اللامتناهي المعروف الآن منتج واليس:

بحث في تحديد استمرت الثغرات ، والموضوع الآخر المؤدي إلى حساب التفاضل والتكامل ، على طول خطوط مختلفة. في La Géométrie قدم ديكارت طريقة يمكن تطبيقها من حيث المبدأ على أي منحنى جبري أو “هندسي” – أي أي منحنى كانت معادلة متعددة الحدود من الدرجة المحدودة في متغيرين. تعتمد الطريقة على إيجاد الخط العادي ، عمودي على الظل ، باستخدام الشرط الجبري الذي يكون نصف قطر فريد لتقاطع المنحنى في نقطة واحدة فقط. تم تبسيط طريقة ديكارت بواسطة Hudde ، وهو عضو في مجموعة Leiden من علماء الرياضيات ، وتم نشره عام 1659 في طبعة van Schooten من La Géométrie.

فئة من منحنيات الاهتمام المتزايد في القرن السابع عشر تضم تلك التي ولدت بطريقة حركية بنقطة تتحرك عبر الفضاء. الشهير المنحنى الدائري ، على سبيل المثال ، تم تتبعه بواسطة نقطة على محيط عجلة تدحرجت على خط دون الانزلاق أو الانزلاق (نرى ال الشكل). كانت هذه المنحنيات غير جبرية وبالتالي لا يمكن معالجتها بواسطة طريقة ديكارت. ابتكر جيلس بيرسنال دي روبرفال ، الأستاذ في كوليج رويال في باريس ، طريقة مستعارة من الديناميكيات لتحديد تماسكها. في تحليله لحركة المقذوفات أظهر غاليليو أن السرعة اللحظية للجسيم تتضاعف بحركتين منفصلتين: حركة أفقية ثابتة وحركة رأسية متزايدة بسبب الجاذبية. إذا كانت حركة نقطة التوليد لمنحنى كينماتيك تعتبر بالمثل مجموع سرعتين ، فسيكون المماس في اتجاه مجموعهم. طبق روبرفال هذه الفكرة على العديد من المنحنيات الحركية المختلفة ، حيث حصل على نتائج كانت مبتكرة وأنيقة في كثير من الأحيان.

في مقالة من 1636 تم تداولها بين علماء الرياضيات الفرنسيين ، قدم فيرمات طريقة من الظلال المكيَّفة من إجراء كان قد ابتكره لتحديد الحدود القصوى والدنيا واستخدمه لإيجاد ظل للعديد من المنحنيات الجبرية للنموذج ذ = س^ن (نرى ال الشكل). كان حسابه قصيرًا ولم يتضمن أي تفسير للأساس الرياضي للطريقة الجديدة. من الممكن أن نرى في هذه العملية حجة تنطوي على متناهيات الصغر ، وقد أعلن فيرمات في بعض الأحيان مكتشف التفاضل في الحسابات التفاضلية. لكن الدراسة التاريخية الحديثة تشير إلى أنه كان يعمل مع مفاهيم قدمها فييت وأن أسلوبه كان قائمًا على أفكار جبرية محدودة.

اسحق بارو ، أستاذ علم الرياضيات في جامعة كامبريدج ، الذي نشر في عام 1670 محاضرات هندسية، أطروحة أن أكثر من أي غيرها من المتوقع أفكار موحدة من حساب التفاضل والتكامل. في ذلك ، تبنى نموذجًا هندسيًا بحتًا للتعبير عن كيف أن تحديد المناطق والظلال هي مشاكل معكوسة. بدأ مع منحنى واعتبر المنحدر من مماسه المقابل لكل قيمة من abscissa. ثم قام بتعريف منحنى مساعد من خلال شرط أن تكون إحكامه مساويًا لهذا المنحدر وأظهر أن المنطقة الواقعة تحت المنحنى المساعد المقابل لـ abscissa مساوية للمستطيل الذي تكون جوانبه هي الوحدة وإحداثي المنحنى الأصلي. عند إعادة صياغة هذه الطريقة تحليليًا ، تعبر هذه النتيجة عن الطابع العكسي لـ التمايز و التكامل ، و نظرية أساسية من حساب التفاضل والتكامل (نرى ال الشكل). على الرغم من أن قرار بارو بالمضي قدمًا بطريقة هندسية منعه من اتخاذ الخطوة الأخيرة إلى حساب حقيقي ، فقد أثرت محاضراته على حد سواء. نيوتن وليبنيز.